MALHAS GEOMÉTRICAS

Profa. Dra Maria Antonia Benutti

MALHAS

“Malha – é o espaço aberto entre os nós de rede ou tecido semelhante.” (Aurélio Buarque de Holanda)

As malhas surgem do agrupamento das formas geométricas básicas.

São formadas por: segmentos de reta (lados dos polígonos) e pelo seu interior (as celas). A união dos segmentos determina os próprios vértices do polígono, também identificados como os nós das malhas.

A formação de uma malha se dá a partir da formação de um nó. Para a formação de um nó, necessitamos de justaposição de formas poligonais que tenham ângulos que, dispostos em torno de um ponto, somem 360o.

Há 3 tipos de malhas: Malhas aleatórias, malhas regulares e malhas semi-regulares.

Malhas aleatórias

São formadas pela união de pontos em número infinito de formação, desde que os pontos unidos estejam no mesmo plano. Por exemplo, a teia da aranha (Figura 1).

Figura 1 – malha formada pela teia de aranha

Malhas regulares

Formadas pela justaposição de polígonos regulares – pavimentação do plano com polígonos regulares de um só tipo.

Para a formação de uma malha regular, necessitamos de polígonos regulares iguais cujos ângulos internos formem 360o ao serem colocados justapostos em torno de um ponto. Essa condição restringe a formação da malha regular para apenas 3 polígonos: o triângulo (Figura 2), o quadrado (Figura 3) e o hexágono (Figura 4).

Figura 2 – malha triangular     Figura 3 – malha quadrada     Figura 4 – malha hexagonal

Essas malhas podem sofrer transformações e gerarem malhas retangulares, rômbicas entre outras (Figura 5).


Figura 5 – malhas regulares transformadas

Malhas semi-regulares

São formadas por dois ou mais tipos de polígonos regulares (Figura 6).

Figura 6 – Malha semi-regular

No caso de mais de um tipo de polígono, devemos ficar atentos e verificar a soma dos ângulos internos dos polígonos ao redor do nó (Figuras 7 e 8), cuidando para que a soma seja igual a 360o.

Para calcular o ângulo interno do polígono, usamos a seguinte fórmula:

i = 180(n-2)/n

onde i= ângulo interno e n= número de lados do polígono.

Ex: Octógono i = 180o(8-2)/8 i = 180o(6)/8 i = 135o

                                     

Figura 7 – Nó formado com 2 tipos de polígonos

                                     

Figura 8 – Nó formado com 3 tipos de polígonos.                

Existem 21 tipos de combinações de polígonos regulares em torno de um nó que geram malhas (Figura 8).

Dessas, 3 geram malhas regulares e as outras 18 geram malhas semi-regulares.

1

3

7

42

2

3

8

24

3

3

9

18

4

3

10

15

5

4

5

20

6

5

5

10

7

3

12

12

8

4

6

12

9

4

8

8

10 Regular

6

6

6

11

3

3

4

12

12

3

4

3

12

13

3

4

4

6

14

3

4

6

4

15

3

3

6

6

16

3

6

3

6

17 Regular

4

4

4

4

18

3

3

3

4

4

19

3

3

4

3

4

20

3

3

3

3

6

21 Regular

3

3

3

3

3

3

Figura 8 – Tabela de combinações de polígonos para a formação de malhas

MALHAS DUAIS

As malhas ditas duais são aquelas que têm por nós os centros dos polígonos (Figura 9)

Figura 9 – Malha semi-regular com centros dos polígonos em verde e malha dual em azul.

As malhas regulares são duais de si mesmas, ou seja; a triangular é dual da hexagonal (e vice-versa) e a quadrada é dual dela própria (Figura 10).


Figura 10 – malhas duais triangular, hexagonal e quadrada

As malhas semi-regulares têm duais formadas por polígonos semi-regulares (Figura 11).

Figura 11 – malha semi-regular (hexágonos, triângulos e quadrados) em preto e dual em magenta.

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